Дано:
- Два треугольника ABC и DEF такие, что AB = DE, AC = DF и медианы BM и EN равны (BM = EN), где M и N - середины сторон AC и DF соответственно.
Найти:
- Докажите, что треугольники ABC и DEF равны.
Решение:
1. Обозначим стороны треугольника ABC как AB = a, BC = b, CA = c, а стороны треугольника DEF как DE = a, EF = b, FD = c.
2. Рассмотрим медианы BM и EN, проведенные соответственно к сторонам CA и DF. По определению медианы, BM и EN равны, то есть BM = EN.
3. Рассмотрим треугольники ABM и DEF:
- AB = DE (по условию)
- BM = EN (по условию)
- AM = DN (так как M и N середины AC и DF соответственно)
4. Из равенства медиан и двух сторон следует, что треугольники ABM и DEF равны по двум сторонам и медиане к третьей стороне.
5. Теперь рассмотрим треугольники ABC и DEF:
- AB = DE
- AC = DF
- BM = EN
6. По теореме о равенстве треугольников по двум сторонам и медиане к третьей стороне, треугольники ABM и DEF равны. Это равенство треугольников ABM и DEF можно перенести на треугольники ABC и DEF, так как треугольники ABC и DEF имеют те же самые стороны и медианы.
Ответ:
Треугольники ABC и DEF равны по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.