Глагол Брызнул показывает, что дождь начался брызгами, отдельными каплями, он ударяет в пыль, и та летит во все стороны.
Глагол Хлынул описывает более сильный дождь. Он годится для описания ливня стеной. Хлынул, сметая всё на своём пути.
Глагол Пошёл нейтральный. Он просто констатирует факт, не отражая отношения поэта, и не вызывает у читателя никаких ассоциаций.
К тому же в нём ударение стоит на втором слоге, что сбивает ритм стихотворения.