Дано:
R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом
ЭДС источников: ε1 = 5 В, ε2 = 10 В, ε3 = 15 В
Внутренние сопротивления источников: r1 = 1 Ом, r2 = 2 Ом, r3 = 3 Ом
Решение:
Для нахождения разности потенциалов между точками А и В воспользуемся методом контурных токов. Выберем направление движения по контуру, например, против часовой стрелки.
Запишем уравнения для контура:
-10I1 + 10I2 - 5 - I1 - 1(I1 - I2) = 0
-I2 - 2(I2 - I3) - 10I2 + 10I1 = 0
-I3 - 3I3 - 2(I3 - I2) + 15 = 0
Где I1, I2, I3 - токи в соответствующих контурах.
Решим систему уравнений методом Крамера:
| -11-r1 10 -1-r1 | | I1 | | -ε1-r1*I1 |
| 10 -12-r2 2+r2 | * | I2 | = | 0 |
| -1-r3 2-r3 -5-r2-r3 | | I3 | | -ε3-r3*I3 |
Вычислим определитель D:
D = (-11-r1)*(-12-r2)*(5+r2+r3) + 10*(2+r2)*(-1-r3) + (-1-r1)*(2-r3)*(-5-r2-r3)
D = (-11-1)*(-12-2)*(5+2+3) + 10*(2+2)*(-1-3) + (-1-1)*(2-3)*(-5-2-3)
D = -360
Вычислим определители Dx, Dy, Dz:
Dx = (-ε1-r1*I1)*(-12-r2)*(5+2+3) + 10*(2+r2)*(-1-3)*(-ε3-r3*I3) + (-1-r1)*(2-r3)*0
Dx = -360*(-5-r2-r3) - 10*4*(-ε3-r3*I3) + (-1-r1)*(2-r3)*0
Dx = 1800 + 40*ε3 + 120*r3*I3
Dy = (-11-r1)*(-ε2-r2*I2)*(5+2+3) + (-ε1-r1*I1)*2*(2-r3) + (-1-r3)*10*(2+r2)
Dy = -360*(-5-r2-r3) - 2*(-1-r3)*(2-r3)*(-ε1-r1*I1) + (-1-r1)*10*(2+2)
Dy = 1800 + 2*(1+3)*(1-3)*ε1 - 20
Dz = (-11-r1)*(-12-r2)*(-ε3-r3*I3) + 10*(-ε2-r2*I2)*(-1-3) + (-ε1-r1*I1)*(2-r3)*(2+r2)
Dz = -360*(-5-2-3) - 10*4*(-ε2-r2*I2) + (-ε1-r1*I1)*0*(2+2)
Dz = -1800 - 40*ε2
Вычислим токи в контурах:
I1 = Dx / D = (1800 + 40*ε3 + 120*r3*I3) / (-360) = -5 - (1/3)*ε3 - (1/3)*r3*I3
I2 = Dy / D = (1800 + 2*(1+3)*(1-3)*ε1 - 20) / (-360) = -5/3 - (1/6)*ε1 + (1/6)*ε3 + (1/6)*r1*I1 - (1/6)*r3*I3
I3 = Dz / D = (-1800 - 40*ε2) / (-360) = 5 + (1/3)*ε2
Разность потенциалов между точками А и В равна:
UAB = I2*R2 = (-5/3 - (1/6)*ε1 + (1/6)*ε3 + (1/6)*r1*I1 - (1/6)*r3*I3)*20 = -36.67 + (1/3)*ε1 - (1/3)*ε3 - (1/3)*r1*I1 + (1/3)*r3*I3
Ответ:
Разность потенциалов между точками А и В равна -36.67 + (1/3)*ε1 - (1/3)*ε3 - (1/3)*r1*I1 + (1/3)*r3*I3.