Человек переправляется на моторной лодке через реку шириной 60 м. Скорость течения 1,5 м/с, скорость лодки относительно воды 3 м/с. а) Как должна быть направлена скорость лодки относительно берега, чтобы переправа произошла за кратчайшее время? б) Чему равно кратчайшее время переправы? в) Чему равно время переправы по кратчайшему пути?
от

1 Ответ

Дано:
Ширина реки: 60 м
Скорость течения: 1.5 м/с
Скорость лодки относительно воды: 3 м/с

а) Найдем направление скорости лодки относительно берега для кратчайшего времени переправы.
Пусть угол между направлением движения лодки и направлением течения реки равен α.

Тогда скорость лодки относительно берега будет равна √(3^2 + (1.5)^2 - 2 * 3 * 1.5 * cos(α)).
Для минимизации времени переправы, необходимо минимизировать расстояние, которое пройдет лодка по поперечной составляющей скорости.

b) Найдем кратчайшее время переправы.
Время переправы можно найти как отношение ширины реки к поперечной составляющей скорости лодки относительно берега.

c) Найдем время переправы по кратчайшему пути.
Для этого найдем длину кратчайшего пути, который будет равен гипотенузе прямоугольного треугольника со сторонами 60 м (ширина реки) и временем, найденным в предыдущем пункте.

Решение:
a) Сначала найдем угол α:
cos(α) = (3*1.5) / (3 * 1.5) = 0.5
α = arccos(0.5) = 60°

Таким образом, скорость лодки относительно берега должна быть направлена под углом 60° к направлению течения реки.

b) Длина поперечной составляющей скорости:
√(3^2 + (1.5)^2 - 2 * 3 * 1.5 * cos(60°)) = √(9 + 2.25 - 9) = √2.25 = 1.5 м/с

Кратчайшее время переправы: 60 м / 1.5 м/с = 40 секунд.

c) Длина кратчайшего пути:
√(60^2 + 60^2) = √7200 = 60√2 м
Время переправы по кратчайшему пути: 60√2 м / 3 м/с = 20√2 ≈ 28.3 секунды.

Ответ:
a) Скорость лодки относительно берега должна быть направлена под углом 60° к направлению течения реки.
b) Кратчайшее время переправы составляет 40 секунд.
c) Время переправы по кратчайшему пути равно примерно 28.3 секунды.
от