Дано:
В квадрате ABCD случайным образом выбирается точка X.
Найти:
Вероятность того, что эта точка принадлежит трапеции AMCD, где точка M:
а) середина стороны ВС;
б) делит отрезок ВС в отношении 1 : 2, считая от точки C;
в) делит отрезок ВС в отношении t : n, считая от точки B.
Решение:
а) Если точка М - середина стороны ВС, то трапеция AMCD будет составлять половину площади квадрата. Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка принадлежит трапеции AMCD, равна 1/2.
б) Если точка М делит отрезок ВС в отношении 1 : 2, то высота трапеции будет составлять половину высоты квадрата, а основаниями будут отрезки AC и BD. Поскольку площадь трапеции равна (сумма оснований умноженная на высоту) / 2, то площадь трапеции будет составлять 3/4 от площади квадрата. Следовательно, вероятность того, что точка X принадлежит трапеции AMCD, равна 3/4.
в) Если точка М делит отрезок ВС в отношении t : n, где t и n - произвольные числа, то высота трапеции будет составлять t / (t + n) от высоты квадрата, а площадь трапеции будет составлять t / (t + n) от площади квадрата. Следовательно, вероятность того, что точка X принадлежит трапеции AMCD, равна t / (t + n).
Ответ:
а) Вероятность того, что точка X принадлежит трапеции AMCD, где M - середина стороны ВС, равна 1/2.
б) Вероятность того, что точка X принадлежит трапеции AMCD, где M делит отрезок ВС в отношении 1 : 2, равна 3/4.
в) Вероятность того, что точка X принадлежит трапеции AMCD, где M делит отрезок ВС в отношении t : n, равна t / (t + n).