Дано:
Симметричная монета бросается до тех пор, пока орёл не выпадет первый раз.
Найти:
Математическое ожидание случайной величины X = {число бросков}.
Решение:
Пусть X - случайная величина, обозначающая "число бросков до выпадения орла впервые". Вероятность выпадения орла на каждом броске равна 1/2, так как монета симметричная.
Вероятность того, что орёл выпадет на первом броске: P(X=1) = 1/2
Вероятность того, что орёл выпадет на втором броске: P(X=2) = (1/2)*(1/2)
...
Вероятность того, что орёл выпадет на n-ном броске: P(X=n) = (1/2)^n
Теперь можем вычислить математическое ожидание:
E(X) = 1*(1/2) + 2*(1/4) + 3*(1/8) + ... + n*(1/2)^n + ...
E(X) = ∑[n=1 до бесконечности] n*(1/2)^n
Используя формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получаем:
E(X) = 2
Ответ:
Математическое ожидание случайной величины X = {число бросков} равно 2.