Дано: Спортивные соревнования проводятся по круговой системе, где каждая пара игроков встречается ровно один раз.
Найти: Доказать, что в любой момент времени найдутся хотя бы два игрока, проведшие одинаковое число встреч.
Решение:
Предположим, что утверждение ложно, и все игроки провели разное количество встреч. Пусть n - общее количество игроков.
Тогда минимальное количество встреч, которое один игрок может провести, равно 0 (если он не провел ни одной встречи) и максимальное количество встреч, которое один игрок может провести, равно (n-1) (если он встретился со всеми остальными игроками).
Используя принцип дирекции, если n игроков провели разное количество встреч, то возможные варианты количества встреч для каждого игрока будут от 0 до (n-1), то есть n различных вариантов.
Однако по принципу Дирихле, если n+1 объектов разложить в n ящиков, то какой-то ящик будет содержать не менее 2 объектов. Применительно к нашей задаче, если n игроков провели разное количество встреч, то как минимум два игрока провели одинаковое количество встреч, что противоречит начальному предположению.
Следовательно, в любой момент времени найдутся хотя бы два игрока, проведшие одинаковое число встреч.
Ответ: Таким образом, доказано, что в любой момент времени найдутся хотя бы два игрока, проведшие одинаковое число встреч.