Дано:
AB = 8 см, AD = 7 см
Площадь сечения через середину ребра A1B1 и ребро CD: S = 8 * 74 см²
Найти:
Объем прямоугольного параллелепипеда
Решение:
1. Обозначим точку пересечения середины ребра A1B1 и ребра CD как O. Так как сечение проходит через середину ребра A1B1, то AO = BO.
2. Площадь сечения можно выразить как произведение длин сторон сечения, которые проведены параллельно AB и AD: S = AO * AD = BO * CD = x * 74, где x - расстояние от центра до ребра CD.
3. Из теоремы Пифагора в треугольнике AOC получаем: AO^2 + x^2 = AC^2 = (AB^2 + BC^2) = (8^2 + 7^2) = 64 + 49 = 113.
4. Так как AO = BO, а OC = 0.5CD = 0.5 * 7 = 3.5, то BC = 3.5, и из теоремы Пифагора в треугольнике BOC получаем: BO^2 + x^2 = BC^2 + CO^2 = 3.5^2 + 7^2 = 12.25 + 49 = 61.25.
5. Таким образом, у нас есть два уравнения: AO^2 + x^2 = 113 и BO^2 + x^2 = 61.25.
6. Из этих уравнений находим AO, BO и x.
7. Объем параллелепипеда равен произведению трех его измерений: V = AB * AD * CD.
Решив уравнения, определяем, что AO = BO ≈ √15 см и x ≈ 7 см.
Тогда CD = 14 см.
Таким образом, объем параллелепипеда составляет V = 8 * 7 * 14 = 784 см³.
Ответ:
Объем прямоугольного параллелепипеда равен 784 кубическим сантиметрам.