Дано:
Отношение размеров действительного изображения к предмету при отражении от вогнутого зеркала: 3
После отодвижения предмета на 80 см, отношение размеров изображения к предмету стало: 1/2
Найти:
Фокусное расстояние вогнутого зеркала.
Решение:
Пусть f - фокусное расстояние вогнутого зеркала.
Из определения зеркальных уравнений для вогнутых зеркал:
1. 1/f = 1/do + 1/di, где do - расстояние от предмета до зеркала, di - расстояние от зеркала до изображения.
2. Отношение размеров изображения к предмету при отражении от вогнутого зеркала равно |di| / |do|, где |di| и |do| - абсолютные значения расстояний.
3. По условию, имеем два уравнения:
a) |di| / |do| = 3
b) |di+80| / |do-80| = 1/2
4. Преобразуем данные уравнения для решения системы:
a) |di| = 3|do|
b) |di+80| = (1/2)|do-80|
5. Раскрываем модули и решаем систему уравнений:
a) di = 3do
b) di+80 = (1/2)(do-80)
6. Подставляем выражение di из первого уравнения во второе и находим do:
3do + 80 = (1/2)(do - 80)
Упрощаем уравнение:
6do + 160 = do - 80
5do = -240
do = -48 см
7. Так как do является отрицательным значением, предмет находится слева от зеркала.
8. Найдем di:
di = 3*(-48) = -144 см
9. Теперь найдем фокусное расстояние f:
1/f = 1/do + 1/di
1/f = 1/(-48) + 1/(-144)
1/f = -1/48 - 1/144
1/f = (-3 - 1)/144
1/f = -4/144
f = -144 / 4 = -36 см
Ответ:
Фокусное расстояние вогнутого зеркала равно 36 см.