Дано: μ = 0,5
Найти: α - наибольший угол между лестницей и вертикалью
Решение:
Для равновесия лестницы сумма моментов сил относительно точки опоры о пол должна быть равна нулю:
N * L - F * h = 0
где N - сила нормального давления со стороны пола, F - сила трения, L - длина лестницы, h - высота лестницы.
Поскольку центр тяжести лестницы находится в ее середине, h = L/2.
Из условия равновесия находим:
N = F * 2
Максимальная сила трения определяется коэффициентом трения и силой нормального давления:
F ≤ μ * N
Подставляя первое уравнение во второе, получаем:
F ≤ μ * 2 * F F ≤ 2 * μ * F
Отсюда следует, что F = 0 или F = 2 * μ * F.
При F = 0 лестница будет скользить. Следовательно, должно выполняться F = 2 * μ * F, что означает:
F = 2 * μ * F F = μ * F / 2
Теперь рассмотрим силы, действующие на лестницу по оси Y:
N - mg = 0 N = mg
Подставляя N в первое уравнение равновесия, получаем:
mg * L - F * L/2 = 0 mg = F * 2
Подставляя F из предыдущего уравнения, получаем:
mg = (μ * F / 2) * 2 mg = μ * F
Наконец, находим тангенс угла α между лестницей и вертикалью:
tan α = h/d = (L/2) / (μ * mg / mg) tan α = 1 / (2 * μ) α = arctan(1 / (2 * μ)) = arctan(1 / (2 * 0,5)) = 45°
Ответ: 45°