Дано: сторона квадрата, a = 2 радиуса окружности.
Найти: вероятность того, что точка M лежит на меньшей дуге АВ и на большей дуге АВ.
Решение:
а) Пусть угол AMB = x. Тогда угол AMD = 90 - x.
Так как точка М выбирается случайным образом, то вероятность того, что точка М лежит на меньшей дуге АВ равна отношению угла AMD к полному углу вокруг центра окружности, то есть 360 градусов:
P(меньшая дуга) = (90 - x) / 360.
Так как угол AMD = 90 - x, то применим теорему косинусов к треугольнику AMD:
a^2 = r^2 + r^2 - 2*r*r*cos(90 - x),
4 = 2 + 2 - 4*cos(90 - x),
cos(90 - x) = 1/2,
90 - x = 60,
x = 30.
Подставляем значение x = 30 в формулу вероятности:
P(меньшая дуга) = (90 - 30) / 360 = 60 / 360 = 1/6.
б) Вероятность того, что точка М лежит на большей дуге AВ равна отношению угла AMB к полному углу вокруг центра окружности:
P(большая дуга) = x / 360 = 30 / 360 = 1/12.
Ответ:
а) P(меньшая дуга) = 1/6;
б) P(большая дуга) = 1/12.