Дано: случайная величина X
Найти: доказать, что E(X) <= max(X)
Решение:
Математическое ожидание случайной величины X (E(X)) определяется как сумма произведений значений X на их вероятности:
E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn
Пусть наибольшее значение случайной величины X равно xmax. Тогда вероятность достижения этого значения не меньше вероятности всех остальных значений:
p(xmax) >= p1, p2, ..., pn
Подставим значения в формулу математического ожидания:
E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn <= x1*p(xmax) + x2*p(xmax) + ... + xn*p(xmax) = xmax*p(xmax) + ... + xmax*p(xmax) = n * xmax * p(xmax) = xmax
Таким образом, математическое ожидание случайной величины X не больше, чем наибольшее значение этой случайной величины.
Ответ: E(X) <= max(X)