Дано:
График функции y = sin x.
Найти:
Вероятность того, что ордината графика в случайно выбранной точке будет больше 0,5.
Решение:
Функция y = sin x имеет значения от -1 до 1. Мы хотим найти вероятность того, что ордината будет больше 0,5, то есть значение функции y > 0,5.
Мы знаем, что функция y = sin x достигает своего максимального значения 1 при x = π/2 и своего минимального значения -1 при x = -π/2. Она также периодически повторяется с периодом 2π.
Интересующая нас область будет между двумя наборами значений x, когда y > 0,5. Поскольку функция sin x является симметричной относительно оси y, мы можем рассмотреть только положительные значения x.
На отрезке [0; π/6], функция sin x имеет значения от 0 до 0,5 (не включая 0,5). Также на отрезке [π/6; π/2], функция sin x имеет значения от 0,5 до 1 (не включая 1).
Теперь найдем общую длину этих двух отрезков:
Длина первого отрезка [0; π/6] можно вычислить как π/6 - 0 = π/6.
Длина второго отрезка [π/6; π/2] можно вычислить как π/2 - π/6 = 5π/6.
Общая длина интересующей нас области = длина первого отрезка + длина второго отрезка = π/6 + 5π/6 = 6π/6 = π.
Поскольку функция sin x периодична с периодом 2π, общая длина всех возможных значений функции на отрезке [-∞; +∞] равна 2π.
Теперь можем рассчитать вероятность:
Вероятность = длина интересующей нас области / общая длина всех возможных значений функции = π / 2π = 1/2
Ответ:
Вероятность того, что ордината графика функции y = sin x в случайно выбранной точке будет больше 0,5: 1/2