Дано: m = 0.15 кг, k = 15 Н/м, x = -0.10 м
Найти: расстояние от положения равновесия, на котором скорость груза будет равна половине максимальной
Решение:
Уравнение колебаний пружинного маятника можно записать в виде:
m*x'' + k*x = 0
где x'' - вторая производная по времени от x.
Общее решение этого уравнения имеет вид:
x(t) = A*cos(sqrt(k/m)*t) + B*sin(sqrt(k/m)*t)
где A и B - произвольные постоянные, которые определяются начальными условиями.
Для гармонических колебаний период T равен:
T = 2*pi/sqrt(k/m)
Максимальная скорость достигается в момент прохождения через положение равновесия, где x = 0. Скорость в этот момент равна амплитудной скорости:
Vmax = A*sqrt(k/m)
Положение, в котором скорость груза будет равна половине максимальной, соответствует моменту времени, когда x = x0:
x0 = 0.5*A*cos(phi)
Решая систему уравнений для x0 и Vmax = 0.5*A*sqrt(k/m), находим:
x0 = 0.5*sqrt(3)*A
Vmax = 0.5*sqrt(3)*A*sqrt(k/m)
Подставляя выражения для x0 и Vmax в уравнение для общего решения, получаем:
x(t) = 0.5*sqrt(3)*A*cos(sqrt(k/m)*t + phi)
Из условия x = x0 = -0.10 м, находим:
0.5*sqrt(3)*A = -0.10 м
Аналогично, из условия V = 0.5*Vmax = 0.5*sqrt(3)*A*sqrt(k/m), находим:
0.5*sqrt(3)*A*sqrt(k/m) = 0.5*sqrt(3)*A*sqrt(k/m)
Сокращая уравнения, находим значение A:
A = -0.20 м
Таким образом, искомое расстояние от положения равновесия, на котором скорость груза будет равна половине максимальной, равно 0.20 м.
Ответ: 0.20 м.