Дано:
h = 5,60 км = 5600 м - высота, на которой концентрация молекул воздуха в 2 раза меньше
n(h) = n(0) / 2 - концентрация молекул воздуха на высоте h в 2 раза меньше, чем у поверхности Земли
Найти:
v - средняя квадратичная скорость молекул воздуха
Решение:
Используем барометрическую формулу:
p(h) = p(0) * exp(-Mgh / (RT)), где:
p(h) - давление воздуха на высоте h
p(0) - давление воздуха у поверхности Земли
M - молярная масса воздуха (приблизительно 0,029 кг/моль)
g - ускорение свободного падения (9,8 м/с²)
R - универсальная газовая постоянная (8,31 Дж/(моль*К))
T - температура воздуха (в данном случае не задана, поэтому будем считать ее постоянной)
Используем закон Авогадро:
n = N / V, где:
n - концентрация молекул
N - число молекул
V - объем
Поскольку концентрация молекул в 2 раза меньше на высоте h, то и давление воздуха в 2 раза меньше:
p(h) = p(0) / 2
Подставим p(h) и p(0) в барометрическую формулу:
p(0) / 2 = p(0) * exp(-Mgh / (RT))
Упростим уравнение:
1 / 2 = exp(-Mgh / (RT))
Возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения:
ln(1/2) = -Mgh / (RT)
Выразим температуру (T):
T = -Mgh / (R * ln(1/2))
Используем формулу для средней квадратичной скорости молекул:
v = √(3RT / M)
Подставим значение T из пункта 7 в формулу для v:
v = √(3R * (-Mgh / (R * ln(1/2))) / M) = √(3gh / ln(2))
Подставим известные значения и получим среднюю квадратичную скорость молекул:
v = √(3 * 9,8 м/с² * 5600 м / ln(2)) ≈ 520 м/с
Ответ: Средняя квадратичная скорость молекул воздуха на высоте 5,60 км равна приблизительно 520 м/с.