дано:
A = 12 см = 0,12 м (в СИ)
B = π рад/с
C = π/6 рад
найти:
а) координаты цилиндра в моменты времени t1 = 0 с и t2 = 1 с
б) фазы колебаний цилиндра в моменты времени t1 = 0,5 с и t2 = 5 с
в) проекцию перемещения цилиндра на ось Оу за промежуток времени от t1 = 1/3 с до t2 = 4/3 с
решение:
а) Чтобы найти координаты цилиндра, используем уравнение y(t) = A * sin(Bt + C).
Координата в момент времени t1 = 0 с:
y(0) = A * sin(B * 0 + C)
y(0) = 0,12 * sin(0 + π/6)
y(0) = 0,12 * sin(π/6)
y(0) = 0,12 * 0,5 = 0,06 м
Координата в момент времени t2 = 1 с:
y(1) = A * sin(B * 1 + C)
y(1) = 0,12 * sin(π * 1 + π/6)
y(1) = 0,12 * sin(π + π/6)
y(1) = 0,12 * sin(7π/6)
y(1) = 0,12 * (-1/2) = -0,06 м
б) Фаза колебаний определяется как φ = Bt + C.
Для t1 = 0,5 с:
φ(0,5) = B * 0,5 + C
φ(0,5) = π * 0,5 + π/6
φ(0,5) = π/2 + π/6
Чтобы сложить дроби, найдем общий знаменатель:
φ(0,5) = 3π/6 + π/6 = 4π/6 = 2π/3 рад
Для t2 = 5 с:
φ(5) = B * 5 + C
φ(5) = π * 5 + π/6
φ(5) = 5π + π/6
φ(5) = 30π/6 + π/6 = 31π/6 рад
в) Проекция перемещения цилиндра определяется как Δy = y(t2) - y(t1).
Сначала найдем координаты в моменты времени:
y(1/3) = A * sin(B * (1/3) + C)
y(1/3) = 0,12 * sin(π*(1/3) + π/6)
y(1/3) = 0,12 * sin(π/3 + π/6)
Общий знаменатель:
y(1/3) = 0,12 * sin(2π/6 + π/6) = 0,12 * sin(3π/6) = 0,12 * (√3/2) = 0,12 * √3 / 2 ≈ 0,1039 м
y(4/3) = A * sin(B * (4/3) + C)
y(4/3) = 0,12 * sin(π*(4/3) + π/6)
y(4/3) = 0,12 * sin(4π/3 + π/6)
Общий знаменатель:
y(4/3) = 0,12 * sin(8π/6 + π/6) = 0,12 * sin(9π/6) = 0,12 * (-1/2) = -0,06 м
Теперь найдем проекцию перемещения:
Δy = y(4/3) - y(1/3)
Δy = -0,06 - 0,1039 = -0,1639 м
ответ:
а) Координаты цилиндра: y(0) = 0,06 м; y(1) = -0,06 м
б) Фазы колебаний: φ(0,5) = 2π/3 рад; φ(5) = 31π/6 рад
в) Проекция перемещения цилиндра: Δy ≈ -0,1639 м