Дано:
ω = π/2 рад/с (циклическая частота)
y_max = A (амплитуда колебаний)
Найти:
а) Промежуток времени для прохождения пути, равного амплитуде колебаний.
б) Промежуток времени для прохождения пути, равного трем амплитудам колебаний.
в) Промежуток времени для прохождения пути, равного двум с половиной амплитудам колебаний.
Решение:
1. Определим максимальную скорость движения шарика:
v_max = A * ω.
2. Проекция скорости на ось вертикали описывается производной от уравнения перемещения:
v(t) = -y_max * ω * sin(ωt).
3. Находим момент времени t_1, когда шарик проходит путь, равный амплитуде:
Путь в 1 амплитуду (A):
Путь = A, значит, v(t) = ±v_max. Так как шарик начинает движение из положения равновесия, будем рассматривать положительное значение:
v(t) = A * ω = A * (π/2).
Для нахождения времени t_1, подставим в уравнение скорости:
A * (π/2) = -y_max * (π/2) * sin((π/2)t).
Сократим на A и (π/2):
sin((π/2)t) = -1.
Это не имеет решений в пределах одного полного колебания. Следовательно, вместо этого мы можем просто найти время, за которое шарик пройдет обратно к равновесию, что будет равно 1/4 периода T:
T = 2π / ω = 2π / (π/2) = 4 с.
Теперь найдем промежуток времени, за который шарик пройдет одно полное колебание (1 амплитуда):
t_1 = T/4 = 4/4 = 1 с.
4. Теперь находите время t_2, за которое шарик пройдет путь, равный трем амплитудам:
Путь = 3A.
После первого прохождения A, для следующего A нужно еще 2 секунды, чтобы вернуться к равновесию (выше A), поэтому:
t_2 = T/2 + t_1 = 4/2 + 1 = 2 + 1 = 3 с.
5. Наконец, определим время t_3 для прохождения пути, равного двум с половиной амплитудам:
Путь = 2.5A.
Шарик пройдет 2A по времени t_2 = 3 с (как уже найдено). Для оставшихся 0.5A, это займет 0.5T/4 = 0.5 * 1 = 0.5 с.
Таким образом:
t_3 = t_2 + 0.5 = 3 + 0.5 = 3.5 с.
Ответ:
а) 1 с;
б) 3 с;
в) 3.5 с.