Дано:
l = длина цилиндра (м)
ρ1 = плотность нижней жидкости (кг/м³)
ρ2 = плотность верхней жидкости (кг/м³)
Найти:
Период малых вертикальных колебаний T.
Решение:
1. Когда цилиндр смещается вниз, его объем, погруженный в каждую из жидкостей, изменяется. Обозначим за h - расстояние, на которое цилиндр сместился вниз.
2. Объем цилиндра V равен S * l, где S - площадь основания цилиндра.
3. Поскольку цилиндр делится на две равные части, объем, погруженный в первую (нижнюю) жидкость, будет равен V1 = S * (l/2 + h), а объем, погруженный во вторую (верхнюю) жидкость, будет равен V2 = S * (l/2 - h).
4. Сила Архимеда, действующая на цилиндр, определяется как разница между весами вытесненной жидкости:
F_подъем = ρ1 * g * V1 + ρ2 * g * V2,
где g - ускорение свободного падения.
5. Подставим объёмы:
F_подъем = ρ1 * g * (S * (l/2 + h)) + ρ2 * g * (S * (l/2 - h))
= S * g * (ρ1 * (l/2 + h) + ρ2 * (l/2 - h))
= S * g * (ρ1 * l/2 + ρ2 * l/2 + (ρ1 - ρ2) * h).
6. Вес цилиндра W равен:
W = m * g,
где m - масса цилиндра.
7. Масса цилиндра можно выразить через его объем и плотность:
m = ρ_avg * S * l,
где ρ_avg = (ρ1 + ρ2) / 2 — средняя плотность.
8. Сила восстанавливающая F_восстановления будет равна разнице между подъемной силой и весом цилиндра:
F_восстановления = F_подъем - W
= S * g * (ρ1 * l/2 + ρ2 * l/2 + (ρ1 - ρ2) * h) - ρ_avg * S * l * g.
9. Упрощаем это выражение:
F_восстановления = S * g * [(ρ1 + ρ2) * (l/2) + (ρ1 - ρ2) * h - ((ρ1 + ρ2) / 2) * l].
10. Это уравнение восстанавливающей силы можно приравнять к -k * h, где k - коэффициент жесткости системы.
11. Для малых колебаний закон Гука может быть применен:
F_восстановления = -k * h,
где k = S * g * (ρ1 - ρ2).
12. При этом период T колебаний можно определить по формуле:
T = 2 * π * sqrt(m/k).
13. Подставляем массу m и коэффициент жесткости k:
T = 2 * π * sqrt((ρ_avg * S * l) / (S * g * (ρ1 - ρ2))).
14. Упрощаем выражение:
T = 2 * π * sqrt((ρ_avg * l) / (g * (ρ1 - ρ2)))
= 2 * π * sqrt(((ρ1 + ρ2)/2 * l) / (g * (ρ1 - ρ2))).
Ответ:
Период малых вертикальных колебаний составляет T = 2 * π * sqrt(((ρ1 + ρ2)/2 * l) / (g * (ρ1 - ρ2))).