Дано: прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусов. Гипотенуза AB, медиана CM проведена из вершины C к гипотенузе AB.
Найти: нужно доказать, что медиана CM равна половине гипотенузы AB.
Решение:
1. Обозначим длину гипотенузы AB как c.
2. Пусть M - середина отрезка AB. Тогда AM = MB = c/2.
3. Рассмотрим треугольники ACM и BCM. Эти треугольники являются равнобедренными, так как имеют общий катет CM и основание AB разделено пополам в точке M.
4. Углы ACM и BCM равны, так как угол C является общим.
5. По теореме Пифагора для треугольника ABC имеем:
AC^2 + BC^2 = AB^2.
6. Подставляя значение гипотенузы c, получаем:
AC^2 + BC^2 = c^2.
7. В треугольниках ACM и BCM применяем теорему Пифагора:
AC^2 + CM^2 = AM^2 (для треугольника ACM),
BC^2 + CM^2 = BM^2 (для треугольника BCM).
8. Заменяем AM и BM на c/2:
AC^2 + CM^2 = (c/2)^2,
BC^2 + CM^2 = (c/2)^2.
9. Следовательно, у нас есть два равенства:
AC^2 + CM^2 = c^2 / 4,
BC^2 + CM^2 = c^2 / 4.
10. Из этих уравнений видно, что CM^2 является одинаковым значением в обоих уравнениях.
11. Отсюда следует, что CM = c/2, так как CM является положительным значением.
Ответ: медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.