Дано:
Диаметр окружности, который делится на отрезки длиной a и b. Хорда, перпендикулярная диаметру.
Найти:
Длину хорды c.
Решение:
1. Обозначим длину всего диаметра как D. Мы знаем, что D = a + b.
2. Радиус R равен половине диаметра: R = D/2 = (a + b)/2.
3. Поскольку хорда перпендикулярна диаметру и делит его, расстояние от центра окружности O до точки пересечения хорд и диаметра, обозначим как h.
4. По свойству окружности, можем использовать теорему о хордовых расстояниях:
R² = h² + (c/2)², где c — длина хорды.
5. Теперь найдём h. Так как h = R - b, мы можем подставить радиус R в это выражение:
h = (a + b)/2 - b = (a - b)/2.
6. Подставим найденное значение h в формулу для радиуса:
R² = ((a - b)/2)² + (c/2)².
7. Упростим уравнение:
(a + b)²/4 = (a - b)²/4 + (c/2)².
8. Умножим всё уравнение на 4 для упрощения:
(a + b)² = (a - b)² + c².
9. Теперь решим это уравнение для c²:
c² = (a + b)² - (a - b)².
10. Используем формулу разности квадратов:
c² = [(a + b) + (a - b)] * [(a + b) - (a - b)] = (2a)(2b).
11. Таким образом, найдем c:
c = 2 * sqrt(ab).
Ответ:
Длина хорды равна 2 * sqrt(ab).