Дано:
Треугольник ABC с медианой AAV, где V — середина стороны BC.
Найти:
а) Показать, что площади треугольников ABV и ACV равны.
б) Найти равновеликие треугольники при произвольной точке на медиане.
в) Докажите, что на медиане есть такая точка, соединение которой с вершинами треугольника делит треугольник на три равновеликие части.
Решение:
а) Площадь треугольников ABV и ACV:
Медиана AAV делит треугольник ABC на два треугольника — ABV и ACV. Поскольку V — середина стороны BC, отрезок AV является медианой.
Площадь треугольника ABV равна (1/2) * AB * AV * sin(∠BAV), а площадь треугольника ACV равна (1/2) * AC * AV * sin(∠CAV). Поскольку ∠BAV = ∠CAV (углы при одной и той же медиане), площади этих треугольников равны.
б) Равновеликие треугольники при произвольной точке на медиане:
Рассмотрим точку M на медиане AAV. Соединяем M с вершинами B и C, образуя треугольники MBV и MCV. Площадь треугольников MBV и MCV равна (1/2) * MB * MV * sin(∠BMV) и (1/2) * MC * MV * sin(∠CMV). Поскольку ∠BMV = ∠CMV, и отрезок MV делит угол равным образом, площади треугольников MBV и MCV равны.
в) Точка на медиане, делящая треугольник на три равновеликие части:
Пусть точка N на медиане AAV. Соединяем N с вершинами B и C. Таким образом, треугольник ABC разбивается на три треугольника: ANB, ANC, и треугольник BNC. Поскольку N делит медиану AAV в соотношении 2:1, треугольники ANB и ANC имеют одинаковую площадь, а треугольник BNC будет иметь ту же площадь, что и треугольники ANB и ANC.
Ответ:
а) Площади треугольников ABV и ACV равны.
б) Равновеликие треугольники MBV и MCV.
в) На медиане есть точка N, которая при соединении с вершинами треугольника делит его на три равновеликих треугольника.