Дано:
Треугольники ABC и A'B'C', где AB = A'B', AC = A'C', и медиана AM равна медиане A'M'.
Найти:
Сформулировать и доказать признак равенства треугольников по двум сторонам и медиане между ними.
Формулировка признака:
Если в двух треугольниках две стороны равны соответственно, а медианы, проведенные к этим сторонам, равны, то такие треугольники равны.
Решение:
1. Пусть M и M' — середины отрезков BC и B'C' соответственно.
2. Известно, что AB = A'B' и AC = A'C', а также AM = A'M'.
3. В треугольнике ABC рассмотрим медиану AM. По свойству медианы, мы можем выразить длину отрезка BM и CM через сторону BC:
BM = 1/2 * BC и CM = 1/2 * BC.
4. Поскольку M является серединой отрезка BC, это означает, что AM² = AB² - (1/2 * BC)² и аналогично для медианы A'M':
A'M'² = A'B'² - (1/2 * B'C')².
5. Теперь, так как AB = A'B' и AM = A'M', можно записать:
AM² = A'M'².
6. Это указывает на то, что BM = B'M' и CM = C'M'.
7. Таким образом, получаем равенство треугольников по двум сторонам и медиане, что означает, что треугольники ABC и A'B'C' равны.
Ответ:
Признак равенства треугольников по двум сторонам и медиане утверждает, что если две стороны одного треугольника равны соответствующим сторонам другого, а медианы, проведенные к этим сторонам, равны, то треугольники равны. Доказательство основано на равенстве длин сторон и медиан, что приводит к равенству треугольников.