а)
дано:
P (периметр квадрата и ромба)
найти:
S_квадрат (площадь квадрата)
S_ромб (площадь ромба)
решение:
Периметр квадрата можно выразить через его сторону a:
P = 4a
Следовательно, сторона квадрата равна:
a = P / 4
Площадь квадрата будет:
S_квадрат = a² = (P / 4)² = P² / 16
Периметр ромба можно выразить через его сторону b:
P = 4b
Следовательно, сторона ромба равна:
b = P / 4
Площадь ромба можно выразить через его стороны и угол между ними:
S_ромб = b² * sin(φ)
При максимальном значении площади (φ = 90°):
S_ромб = b² = (P / 4)² = P² / 16
Однако, при меньшем значении угла площадь ромба может уменьшаться. Таким образом, при одинаковом периметре площадь квадрата всегда будет больше, чем у ромба в общем случае.
ответ:
Квадрат имеет большую площадь, чем ромб, при одинаковых периметрах.
б)
дано:
S_квадрат (площадь квадрата)
S_ромб (площадь ромба)
найти:
P_квадрат (периметр квадрата)
P_ромб (периметр ромба)
решение:
Площадь квадрата:
S_квадрат = a²
Площадь ромба:
S_ромб = b² * sin(φ)
При равенстве площадей:
a² = b² * sin(φ)
Если предположить, что φ = 90°, тогда:
a² = b²
Следовательно, a = b.
Периметры фигур будут:
P_квадрат = 4a
P_ромб = 4b
Так как a = b, то:
P_квадрат = P_ромб.
ответ:
Периметры квадрата и ромба равны при одинаковых площадях.