Дано:
- Трапеция ABCD с основаниями AB и CD, где AB // CD.
- О — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD.
Найти:
- Доказать, что площадь треугольника AOD равна площади треугольника BOC.
Решение:
1. Трапеция ABCD имеет параллельные основания AB и CD. Обозначим точки пересечения диагоналей AC и BD как O.
2. Известно, что в трапеции диагонали пересекаются в точке O, которая делит каждую диагональ в отношении длины противоположных оснований. То есть, если AD и BC – боковые стороны, а AB и CD – основания, то отношение AO/OC = BO/OD = AB/CD.
3. Рассмотрим треугольники AOD и BOC. Обратите внимание, что в этих треугольниках:
- Основания AO и BO противоположны по отношению к диагоналям.
- Высоты треугольников из точек O на линии AB (или CD) равны, поскольку точки A, B, C и D лежат на одной прямой линии (параллельной).
4. Площадь треугольника AOD можно выразить как 0.5 * AO * высота, опущенная из O на сторону AD (или на AB). Аналогично, площадь треугольника BOC будет 0.5 * BO * высота, опущенная из O на сторону BC (или на CD).
5. Поскольку AO/OC = BO/OD и высоты треугольников, опущенные на одинаковую прямую, равны, площади треугольников AOD и BOC будут равны.
Ответ: площади треугольников AOD и BOC действительно равны, что подтверждается использованием отношения диагоналей и равенства высот, опущенных на параллельные основания.