Дано:
- Основное тригонометрическое тождество: sin^2(a) + cos^2(a) = 1.
Найти:
а) Выразить из этого тождества cos^2(a), cos(a), sin^2(a) и sin(a).
б) Если cos(a) растёт, что происходит с sin(a)?
в) Если sin(a) убывает, что происходит с cos(a)?
г) Как из этого тождества получить, что синус и косинус по модулю не превосходят единицы?
Решение:
а) Выразим требуемые значения:
1. cos^2(a) = 1 - sin^2(a)
2. sin^2(a) = 1 - cos^2(a)
Для нахождения cos(a) и sin(a), нам нужно учитывать, что значения этих функций зависят от угла и могут быть найдены с использованием квадратных корней:
1. cos(a) = ±√(1 - sin^2(a))
2. sin(a) = ±√(1 - cos^2(a))
Знак (положительный или отрицательный) выбирается в зависимости от квадранта, в котором находится угол a.
б) Если cos(a) растёт, это значит, что значение функции косинуса увеличивается. С учётом основного тригонометрического тождества:
sin^2(a) = 1 - cos^2(a)
Так как cos^2(a) увеличивается, значение 1 - cos^2(a) уменьшается, следовательно, sin^2(a) уменьшается, и sin(a) также уменьшается, так как sin(a) и sin^2(a) связаны прямой зависимостью.
в) Если sin(a) убывает, это значит, что значение функции синуса уменьшается. С учётом основного тригонометрического тождества:
cos^2(a) = 1 - sin^2(a)
Так как sin^2(a) уменьшается, значение 1 - sin^2(a) увеличивается, следовательно, cos^2(a) увеличивается, и cos(a) также увеличивается.
г) Из основного тригонометрического тождества:
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Поскольку sin^2(a) и cos^2(a) всегда неотрицательны, и их сумма равна 1, это значит, что ни sin(a), ни cos(a) не могут превышать единицу по модулю. Иначе их квадраты не могли бы в сумме составить 1. То есть:
- |sin(a)| ≤ 1
- |cos(a)| ≤ 1
Ответ:
а) cos^2(a) = 1 - sin^2(a); sin^2(a) = 1 - cos^2(a); cos(a) = ±√(1 - sin^2(a)); sin(a) = ±√(1 - cos^2(a)).
б) Если cos(a) растёт, то sin(a) убывает.
в) Если sin(a) убывает, то cos(a) растёт.
г) Основное тригонометрическое тождество показывает, что синус и косинус по модулю не превосходят единицы, поскольку их квадраты в сумме дают 1.