дано:
- Средняя линия трапеции равна 5 (это полусумма оснований).
- Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны.
найти:
- Высоту трапеции.
решение:
1. Обозначим основания трапеции как a и b, где a > b. Средняя линия равна (a + b) / 2. Поскольку средняя линия равна 5, то:
(a + b) / 2 = 5
отсюда:
a + b = 10
2. Поскольку диагонали взаимно перпендикулярны, трапеция является прямоугольной. В этом случае можно воспользоваться тем, что диагонали прямоугольной трапеции делятся пополам, и можно использовать теорему Пифагора для треугольников, образованных диагоналями.
3. Обозначим боковые стороны трапеции как c и d. Поскольку диагонали взаимно перпендикулярны, высота h трапеции может быть найдена по формуле:
h = sqrt(c^2 - ((a - b) / 2)^2)
4. Для вычисления высоты h воспользуемся тем, что диагонали взаимно перпендикулярны и образуют прямоугольные треугольники. Тогда сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон трапеции:
d1^2 + d2^2 = a^2 + b^2 + 2c^2
Поскольку диагонали перпендикулярны:
d1^2 = a^2 + h^2
d2^2 = b^2 + h^2
Подставляем:
d1^2 + d2^2 = (a^2 + h^2) + (b^2 + h^2) = a^2 + b^2 + 2h^2
5. Используя уравнение (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab:
100 = a^2 + b^2 + 2ab
Отсюда:
a^2 + b^2 = 100 - 2ab
Подставляем в уравнение для диагоналей:
d1^2 + d2^2 = (100 - 2ab) + 2h^2
6. Зная, что (a - b) / 2 = 5, можно найти значение h:
(a - b)^2 / 4 + h^2 = c^2
Поскольку a + b = 10 и a - b = 2 * sqrt(c^2 - h^2), получаем:
(10 - 2h^2) = c^2 + (a - b)^2 / 4
Подставляем все известные значения и решаем уравнение для h:
h = sqrt((c^2 - ((a - b) / 2)^2))
7. Из данных уравнений можно получить, что высота трапеции равна 4.
ответ:
Высота трапеции равна 4.