Дано: гипотенуза a.
Найти: прямоугольный треугольник с наибольшей площадью при данной гипотенузе.
Решение:
1. Площадь прямоугольного треугольника равна (1/2) * основание * высота. Если гипотенуза a фиксирована, то для нахождения наибольшей площади можно использовать следующие формулы.
2. Обозначим катеты треугольника как b и c. По теореме Пифагора: b^2 + c^2 = a^2.
3. Площадь треугольника можно выразить как (1/2) * b * c. Используя метод замены и подстановки, находим:
Площадь = (1/2) * b * c
4. Подставляем b = a * cos(theta) и c = a * sin(theta) (где theta - угол между гипотенузой и одним из катетов):
Площадь = (1/2) * (a * cos(theta)) * (a * sin(theta))
= (1/2) * a^2 * sin(theta) * cos(theta)
5. Используем тригонометрическую идентичность: sin(2 * theta) = 2 * sin(theta) * cos(theta):
Площадь = (1/4) * a^2 * sin(2 * theta)
6. Площадь максимальна, когда sin(2 * theta) = 1, то есть при theta = 45 градусов:
Площадь = (1/4) * a^2
Ответ: Наибольшая площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой a равна (1/4) * a^2.