Дано:
- Треугольник ABC.
- Через каждую вершину треугольника проведены прямые, параллельные противоположным сторонам.
Найти:
- Доказать, что вершины начального треугольника являются серединами сторон нового треугольника, образованного этими прямыми.
Решение:
1. Обозначим новый треугольник как A'B'C', где прямые, проведенные через вершины треугольника ABC, пересекаются.
2. Пусть A', B', C' — новые точки, образующие треугольник A'B'C'.
3. Прямые, проведенные через вершины треугольника ABC, параллельны противоположным сторонам:
- Прямая, проходящая через вершину A, параллельна стороне BC.
- Прямая, проходящая через вершину B, параллельна стороне CA.
- Прямая, проходящая через вершину C, параллельна стороне AB.
4. Рассмотрим прямую, проходящую через вершину A и параллельную стороне BC. Эта прямая пересекает прямые, проходящие через вершины B и C, соответственно, параллельные сторонам CA и AB. Таким образом, пересечения образуют точку на стороне A'B' или A'C'.
5. Аналогично, прямая, проходящая через вершину B и параллельная стороне CA, пересекает прямую, проходящую через вершину C и параллельную стороне AB. Точки пересечения образуют стороны B'C' и B'A'.
6. Прямые пересечения образуют новый треугольник A'B'C'. Из-за параллельности прямых, стороны нового треугольника будут равны половине расстояний между параллельными прямыми исходного треугольника. Поскольку исходный треугольник является треугольником, чьи вершины являются серединами новых сторон, это означает, что A, B и C — середины новых сторон треугольника.
7. Треугольник A'B'C' является подобным треугольнику ABC с коэффициентом подобия 1:2. Это следует из того, что параллельные прямые делят исходный треугольник на два подобных треугольника, где соотношение между ними равно 1:2.
Ответ:
Вершины начального треугольника ABC являются серединами сторон нового треугольника A'B'C'.