Дано:
- Параллелограмм ABCD.
- Диагональ параллелограмма разбита на три равные части.
Найти:
- Докажите, что точки деления диагонали и две другие вершины параллелограмма образуют новый параллелограмм.
Решение:
1. Обозначим диагональ параллелограмма как AC. Пусть точки E и F делят диагональ на три равные части. То есть, AE = EF = FC.
2. Мы хотим доказать, что точки E, F и две другие вершины параллелограмма (например, B и D) образуют параллелограмм.
3. Для этого рассмотрим векторное представление точек:
- Пусть A = (0, 0)
- Пусть C = (c, d)
4. Тогда точки E и F, которые делят диагональ AC на три равные части, будут:
- E = (c/3, d/3)
- F = (2c/3, 2d/3)
5. Рассмотрим векторы BE и BF:
- B = (x, y) (координаты произвольной точки)
- Вектор BE = E - B = (c/3 - x, d/3 - y)
- Вектор BF = F - B = (2c/3 - x, 2d/3 - y)
6. Точки D и C также можно выразить через координаты B:
- D = B + (C - A) = (x + c, y + d)
7. Теперь найдем вектор CD:
- Вектор CD = D - C = (x + c - c, y + d - d) = (x, y)
8. Вектор BE и вектор CD параллельны и равны по модулю, так как E и F делят AC в равных частях.
9. Аналогично, для векторов DF и CB:
- Вектор DF = F - D = (2c/3 - (x + c), 2d/3 - (y + d)) = (-c/3, -d/3)
- Вектор CB = B - C = (x - c, y - d)
10. Векторы DF и CB также параллельны и равны по модулю.
Таким образом, противоположные стороны четырехугольника BEFD параллельны и равны по длине, что доказывает, что BEFD является параллелограммом.
Ответ:
Точки деления диагонали и две другие вершины параллелограмма образуют новый параллелограмм.