Дано:
- Квадрат ABCD.
- Точки диагоналей пересекаются в точке O.
- Точка M такая, что угол AMD равен 90°.
- Отрезок OM равен половине стороны квадрата.
Найти:
- Угол MAD.
Решение:
1. Обозначим сторону квадрата как a. Тогда длина диагонали квадрата, по теореме Пифагора, равна a√2.
2. Точка O — середина диагонали квадрата, следовательно, длина отрезка OM равна половине длины диагонали квадрата, то есть OM = (a√2) / 2 = a / √2.
3. В квадрате диагонали пересекаются под прямым углом, следовательно, диагонали делят квадрат на 4 равных треугольника, и диагонали квадрата равны.
4. Мы знаем, что отрезок OM = a / √2 и угол AMD = 90°. Следовательно, треугольник AMD — прямоугольный.
5. Поскольку OM = a / √2 и M лежит на круге, описанном вокруг треугольника AMD (так как угол AMD прямой), расстояние OM должно быть равно радиусу этого круга. Радиус этого круга равен половине диагонали квадрата.
6. Теперь определим угол MAD. Поскольку диагонали квадрата пересекаются под углом 90°, треугольник AMD можно рассматривать как прямоугольный треугольник, где отрезок OM равен a / √2 и угол AMD равен 90°.
7. В прямоугольном треугольнике AMD, где угол AMD прямой, с помощью тригонометрии мы можем найти угол MAD. Поскольку треугольник AMD прямоугольный, и OM является гипотенузой в данном треугольнике, угол MAD можно найти через функцию тангенса:
tan(∠MAD) = OM / OD
Поскольку OD является половиной диагонали квадрата и OD = a / √2:
tan(∠MAD) = (a / √2) / (a / 2) = 2 / √2 = √2
Таким образом, ∠MAD = arctan(√2) ≈ 45°.
Ответ:
Угол MAD равен 45°.