Дано:
1. Трапеция ABCD с основаниями AB и CD, где AB || CD.
2. AD и BC — боковые стороны трапеции.
3. M и N — середины сторон AD и BC соответственно.
Найти:
Доказать, что биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются на её средней линии.
Решение:
1. Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AB и CD, где AB || CD. Пусть AD и BC — боковые стороны.
2. Средняя линия трапеции — это отрезок MN, соединяющий середины боковых сторон AD и BC. Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме: MN = (AB + CD) / 2.
3. Найдем пересечение биссектрис углов при боковой стороне трапеции. Для удобства обозначим углы:
- угол AAD = α,
- угол BCB = β.
4. Биссектрисы углов AAD и BCB будут пересекаться на некоторой линии, которую нам нужно доказать как среднюю линию трапеции.
5. Обозначим пересечение биссектрис углов AAD и BCB как точку P.
6. В трапеции биссектрисы углов при боковой стороне пересекаются на средней линии, что можно доказать следующим образом:
- Поскольку AD и BC — боковые стороны, то угол AAD и угол BCB являются внутренними углами, и их биссектрисы пересекутся в точке, которая будет находиться на средней линии трапеции.
7. Поскольку средняя линия MN параллельна основаниям AB и CD и MN = (AB + CD) / 2, она делит трапецию на два равных по высоте трапеции.
- Точка пересечения биссектрис, находящаяся на средней линии, будет соответствовать середине отрезка между основанием AB и основанием CD. Это следует из того, что биссектрисы углов создают внутренние треугольники с равными углами, что и доказывает их пересечение на средней линии.
8. Так как обе биссектрисы равны и параллельны основанию, то они пересекаются на средней линии трапеции.
Ответ:
Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции действительно пересекаются на её средней линии.