Чтобы доказать, что середины отрезков, соединяющих середины противоположных сторон четырёхугольника с его вершинами, образуют параллелограмм, воспользуемся следующим методом.
1. Дано:
- Четырёхугольник ABCD.
- M и N – середины отрезков AB и CD соответственно.
- P и Q – середины отрезков BC и DA соответственно.
2. Найти:
- Нужно доказать, что точки M, N, P и Q образуют параллелограмм.
3. Решение:
Обозначим середины отрезков:
- M – середина AB,
- N – середина CD,
- P – середина BC,
- Q – середина DA.
Рассмотрим векторное представление:
- Вектор MN = N - M,
- Вектор PQ = Q - P.
Мы покажем, что MN и PQ параллельны и равны по модулю.
Заметим, что:
- M = (A + B) / 2,
- N = (C + D) / 2,
- P = (B + C) / 2,
- Q = (D + A) / 2.
Тогда:
MN = N - M = [(C + D) / 2] - [(A + B) / 2] = (C + D - A - B) / 2.
Также:
PQ = Q - P = [(D + A) / 2] - [(B + C) / 2] = (D + A - B - C) / 2.
Сравним MN и PQ:
- MN = (C + D - A - B) / 2,
- PQ = (D + A - B - C) / 2.
Можно заметить, что MN и PQ одинаковы по модулю и направлению, то есть MN = -PQ.
Таким образом, отрезки MN и PQ равны и параллельны.
Аналогично, рассмотрим векторы MP и NQ:
- MP = P - M = [(B + C) / 2] - [(A + B) / 2] = (C - A) / 2,
- NQ = Q - N = [(D + A) / 2] - [(C + D) / 2] = (A - C) / 2.
Можно заметить, что MP и NQ равны и направлены противоположно, то есть MP = -NQ.
Таким образом, отрезки MP и NQ равны и параллельны.
Так как противоположные стороны параллельны и равны, точки M, N, P и Q образуют параллелограмм.
4. Ответ:
Середины отрезков, соединяющих середины противоположных сторон четырёхугольника с его вершинами, образуют параллелограмм.