Дано:
- Длина хорды AB = r (радиус круга).
Найти:
- Угол сектора OAB, где O — центр круга.
Решение:
1. Обозначим угол OAB как α.
2. В равнобедренном треугольнике OAB, где OA = OB = r и AB = r, применим теорему косинусов:
AB² = OA² + OB² - 2 * OA * OB * cos(α).
3. Подставим известные значения:
r² = r² + r² - 2 * r * r * cos(α).
4. Упростим уравнение:
r² = 2r²(1 - cos(α)).
5. Разделим обе стороны на r² (r ≠ 0):
1 = 2(1 - cos(α)).
6. Упростим:
1 = 2 - 2cos(α).
7. Переносим 2 на левую сторону:
2cos(α) = 2 - 1 = 1.
8. Отсюда получаем:
cos(α) = 1/2.
9. Угол α, для которого cos(α) = 1/2, равен 60°.
Ответ:
Угол сектора OAB равен 60°.