Дано:
- Угол с углом α.
- Внутри угла проведена окружность, касающаяся сторон угла.
- Диаметр окружности проведен через точку касания со одной из сторон угла.
- Соединен конец диаметра с другой точкой касания окружности со второй стороной угла.
Найти:
- Доказать, что полученный отрезок параллелен биссектрисе угла.
Решение:
1. Обозначим угол как ∠BAC, где точка A — вершина угла, а B и C — точки на сторонах угла. Пусть окружность касается стороны AB в точке P и стороны AC в точке Q.
2. Обозначим центр окружности как O, а радиус окружности — как R. Проведем диаметр окружности через точку P, пусть его конец, не касающийся P, обозначим как D. Тогда OD — диаметр окружности и проходит через P.
3. Соединим точку D с точкой Q, где Q — точка касания окружности со стороной AC.
4. Рассмотрим треугольник ∆OPQ, где O — центр окружности, а P и Q — точки касания окружности со сторонами угла. В этом треугольнике OD перпендикулярен касательной в P, поэтому ∠ODP = 90°.
5. Поскольку касательные к окружности из одной точки равны, отрезки OP и OQ являются радиусами окружности и равны между собой. Таким образом, ∆OPQ является прямоугольным треугольником, где OD является гипотенузой.
6. Отметим, что угол ∠ODQ является прямым, так как OD перпендикулярен PQ. Кроме того, отрезок DQ проходит через диаметр и точку касания с окружностью.
7. Учитывая, что линия, проходящая через точки касания окружности с двумя сторонами угла, является биссектрисой угла, отрезок DQ параллелен биссектрисе угла ∠BAC. Это связано с тем, что при проведении диаметра в точке касания и соединении его с другой точкой касания, мы получаем параллельный отрезок к биссектрисе.
Ответ:
Полученный отрезок параллелен биссектрисе угла.