Дано:
- Трапеция, в которую можно вписать окружность (то есть сумма противоположных сторон равна).
Найти:
- Доказать, что окружности, построенные на боковых сторонах трапеции как на диаметрах, касаются друг друга.
Решение:
1. Пусть трапеция имеет основания a и b, а боковые стороны c и d. Поскольку в трапецию можно вписать окружность, выполняется условие, что сумма длин противоположных сторон равна: a + b = c + d.
2. Построим окружности, используя боковые стороны трапеции как диаметры. Пусть r1 и r2 — радиусы окружностей на боковых сторонах. Тогда r1 = c / 2 и r2 = d / 2.
3. Чтобы доказать, что окружности касаются друг друга, найдем расстояние между центрами этих окружностей. Центры окружностей лежат на прямых, параллельных основаниям трапеции, и расстояние между ними равно высоте трапеции h.
4. Используем свойство трапеции с вписанной окружностью, что сумма квадратов длин боковых сторон равна сумме квадратов оснований. Это можно записать как:
c^2 + d^2 = a^2 + b^2.
5. Радиусы окружностей равны c / 2 и d / 2. Расстояние между центрами окружностей (h) можно выразить через радиусы и расстояние между основаниями:
h = sqrt((c / 2)^2 + (d / 2)^2 - 2 * (c / 2) * (d / 2) * cos(θ)),
где θ — угол между боковыми сторонами трапеции, формирующими окружности.
6. Поскольку трапеция имеет равенство противоположных сторон, у нас есть равенство:
c / 2 + d / 2 = sqrt(c^2 / 4 + d^2 / 4) = h.
7. В результате, расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов:
r1 + r2 = c / 2 + d / 2.
8. Следовательно, окружности касаются, так как расстояние между их центрами равно сумме их радиусов.
Ответ:
Окружности, построенные на боковых сторонах трапеции как на диаметрах, касаются друг друга.