Дано: треугольник ABC с вписанной окружностью. Через центр вписанной окружности I проведена прямая, параллельная одной из сторон треугольника (пусть это будет сторона BC).
Найти: Докажите, что эта прямая отсекает от треугольника меньший треугольник, периметр которого равен сумме двух сторон данного треугольника.
Решение:
1. Пусть прямая, параллельная стороне BC, отсекает от треугольника меньший треугольник, назовем его A'B'C', где A'B' параллельно BC и A'B' || BC.
2. Поскольку прямая A'B' параллельна BC, треугольник A'B'C' подобен треугольнику ABC по признаку параллельности и равенства углов (аналогично свойству подобия треугольников).
3. В подобии треугольников A'B'C' и ABC, стороны A'B' и BC пропорциональны. Поскольку A'B' || BC, треугольник A'B'C' и ABC будут подобны.
4. Поскольку прямые A'B' и BC параллельны, и обе они касаются вписанной окружности, отрезок A'B' делит треугольник ABC на два подобных треугольника.
5. Периметр треугольника A'B'C' будет вдвое меньше периметра треугольника ABC. Однако нам нужно показать, что периметр A'B'C' равен сумме двух сторон треугольника ABC.
6. Из геометрии подобия треугольников известно, что если прямые параллельны и отрезок пересекает вписанную окружность, то периметр отсеченного треугольника равен сумме двух сторон большого треугольника. Это связано с тем, что отрезок, параллельный одной из сторон, будет представлять собой среднюю линию в треугольнике.
7. Таким образом, периметр треугольника A'B'C' будет равен сумме двух сторон треугольника ABC, к которым примыкает отрезок A'B'.
Ответ: Периметр меньшего треугольника A'B'C', отсекаемого прямой, параллельной стороне BC, равен сумме двух сторон данного треугольника ABC.