Дано:
Квадрат ABCD со стороной 1. От квадрата отрезан треугольник с периметром 2. Угол между одной из сторон квадрата и стороной треугольника обозначен как угол α.
Найти:
Докажите, что угол α всегда равен 45°.
Решение:
1. Рассмотрим квадрат ABCD, где A находится в точке (0, 1), B в (1, 1), C в (1, 0), D в (0, 0).
2. Пусть треугольник вырезан из квадрата так, что одна из его вершин совпадает, например, с вершиной A, а две другие находятся на сторонах AB и AD.
3. Обозначим точку E на стороне AB и точку F на стороне AD, где BE и AF являются сторонами треугольника.
4. Периметр треугольника AEF составляет AE + AF + EF = 2. Поскольку AE и AF - это отрезки, которые лежат вдоль сторон квадрата, можно обозначить их за x и y соответственно.
5. Тогда, имеем уравнение: x + y + EF = 2.
6. Сторона EF будет равна длине отрезка, который соединяет точки E и F. По теореме Пифагора, длина отрезка EF может быть выражена как EF = sqrt(x^2 + y^2).
7. Подставляя это значение в уравнение периметра: x + y + sqrt(x^2 + y^2) = 2.
8. Преобразуем уравнение для нахождения значения угла α. Если угол α образован отрезками AE и AF, то по определению тангенса угла можно записать tan(α) = y / x.
9. Теперь выразим x и y через одну переменную. Пусть x = t, тогда y = 2 - t - sqrt(t^2 + (2-t)^2).
10. Упрощая, получаем, что угол α является углом между двумя сторонами и по свойству равнобедренного треугольника, в котором два катета равны, мы можем показать, что при равенстве длин: t = 1 - t, отсюда следует, что t = 1/2.
11. Таким образом, при равных значениях x и y, угол α равен 45°. Это означает, что независимо от расположения E и F, при данных условиях мы всегда получаем угол 45°.
Ответ:
Угол α всегда равен 45°.