Дано:
Выпуклый пятиугольник ABCDE, в котором три равных острых угла и две пары равных сторон. Обозначим углы: угол A = угол B = угол C = α (острые углы). Пусть стороны AB = a, BC = b, CD = c, DE = d, AE = e. Также обозначим пары равных сторон: AB = CD и BC = DE.
Найти:
Докажите, что в данный пятиугольник можно вписать окружность.
Решение:
1. Сначала запишем условие о том, что сумма углов пятиугольника равна 540 градусам:
угол A + угол B + угол C + угол D + угол E = 540°.
Поскольку углы A, B и C равны и обозначены как α, то:
3α + угол D + угол E = 540°.
2. Из условия задачи известно, что угол D и угол E также имеют определенные соотношения. Предположим, что угол D = β и угол E = γ.
3. По свойствам выпуклого пятиугольника можем записать:
3α + β + γ = 540°.
4. Чтобы показать, что в пятиугольник можно вписать окружность, необходимо доказать, что суммы противолежащих сторон равны:
AB + CD = BC + DE.
5. Подставим известные значения сторон:
a + c = b + d.
Так как у нас есть пара равных сторон:
a = c и b = d.
6. Следовательно, мы имеем:
a + a = b + b,
что упрощается до:
2a = 2b или a = b.
7. Это означает, что в данном пятиугольнике выполняется условие о равенстве сумм противоположных сторон.
8. Таким образом, так как суммы противоположных сторон равны, по признаку для вписываемых многоугольников, в данном пятиугольнике можно вписать окружность.
Ответ:
Следовательно, в выпуклый пятиугольник ABCDE можно вписать окружность.