Дано:
Треугольник ABC, O — центр описанной окружности, AH — высота, проведенная из вершины A к основанию BC.
Найти:
Докажите, что угол BAH равен углу OAC.
Решение:
1. Обозначим угол BAH как α и угол OAC как β. Нам нужно показать, что α = β.
2. Поскольку AH — высота треугольника ABC, то угол AHB равен 90°.
3. Точка H — это проекция точки A на прямую BC, следовательно, угол BAH и угол AHB составляют смежные углы:
угол AHB = угол BAH + угол AHC,
то есть угол AHB = α + 90°.
4. Рассмотрим угол OAC. Угол OAC — это угол, образованный радиусом OA и стороной AC.
5. Из свойства вписанных углов следует, что угол AOB равен удвоенному углу BAC, поскольку O — центр окружности, а A и B находятся на окружности.
6. Таким образом, угол AOB = 2 * угол BAC.
7. Теперь рассмотрим треугольник AOH. В этом треугольнике высота AH также делит угол AOB на два угла:
угол AOH = 90° - угол BAC.
8. Так как угол AHB = 90°, мы имеем:
угол AHB = угол AOH + угол BAH,
где угол BAH = α.
Следовательно, можно записать:
90° = (90° - угол BAC) + α,
откуда мы получаем, что
α = угол BAC.
9. Отметим, что угол OAC также выражается через угол BAC. Поскольку О является центром окружности и AC является секущей линией, угол OAC также равен углу BAC.
10. Таким образом, мы получили равенство:
α = угол BAC = β.
Ответ:
Таким образом, доказано, что угол BAH равен углу OAC.