Дано:
Треугольник ABC, в котором:
- M – середина стороны BC (медиана AM),
- H – основание высоты из вершины A на сторону BC (высота AH),
- угол ∠MAH делится биссектрисой AD пополам.
Найти:
Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
Решение:
1. Обозначим угол ∠MAD = x и угол ∠DAH = x (так как AD - биссектрисы).
Тогда:
∠MAH = ∠MAD + ∠DAH = x + x = 2x.
2. Рассмотрим угол ∠MAB и угол ∠HAB.
По определению медианы и высоты, у нас есть следующие углы:
∠MAB + ∠MAH = ∠HAB + ∠DAH.
3. Поскольку ∠MAH = 2x, можно записать:
∠MAB + 2x = ∠HAB + x,
откуда следует:
∠MAB - ∠HAB = -x.
4. Углы MAB и HAB находятся в одном треугольнике и имеют общую вершину A, значит, их сумма должна быть равна 90° при условии, что ABC - прямоугольный треугольник.
5. Таким образом, мы можем предположить, что если ∠MAB - ∠HAB = -x, это будет означать, что угол между медианой и высотой изменяется таким образом, что в результате мы получаем прямой угол.
6. Рассмотрим возможность, что любой другой вариант углов не может привести к равенству, необходимому для прямоугольного треугольника.
7. Следовательно, если биссектриса делит угол между медианой и высотой пополам, то полученные углы показывают, что треугольник ABC является прямоугольным.
Ответ:
Треугольник ABC является прямоугольным.