Дано:
- Треугольник ABC.
- Высоты AD и BE, проведенные из вершин A и B соответственно.
- O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.
Найти:
Докажите, что точки пересечения высот AD и BE с окружностью, описанной около треугольника, равноудалены от третьей вершины C.
Решение:
1. Обозначим точки пересечения высоты AD с окружностью как D1 и E1, а высоты BE с окружностью как D2 и E2.
2. По свойству окружности, для любой точки на окружности радиус, проведенный к этой точке, равен радиусу окружности, то есть OD1 = R и OD2 = R, где R - радиус окружности.
3. Рассмотрим треугольники OAD1 и OBD2. Углы ∠OAD1 и ∠OBD2 являются углами между радиусами и высотами треугольника, поэтому они равны:
∠OAD1 = ∠OBD2.
4. Теперь рассмотрим треугольники OAC и OBC:
- В треугольнике OAC угол ∠OAC равен углу ∠OAD1, так как AD1 — это высота.
- В треугольнике OBC угол ∠OBC равен углу ∠OBD2, так как BE2 — это высота.
5. Из анализа следует, что:
длина OD1 = OD2, поскольку обе они равны радиусу окружности R, и углы ∠OAD1 и ∠OBD2 равны.
6. Таким образом, точки D1 и D2 равноведены от точки C, что доказывает, что они равноудалены.
Ответ:
Точки пересечения высот треугольника с окружностью, описанной около треугольника, равноудалены от третьей вершины треугольника.