Дано:
- Треугольник ABC.
- Биссектриса внешнего угла при вершине C пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке D, отличной от точки C.
Найти:
Докажите, что AD = BD.
Решение:
1. Обозначим точки A, B и C как вершины треугольника, а угол ACB = α. Угол при вершине C разделен на два угла: внутренний угол ACB (α) и внешний угол, равный 180° - α.
2. По определению биссектрисы внешнего угла, она делит внешний угол на два равных угла. Таким образом, угол ACD = угол BCD = (180° - α) / 2.
3. Поскольку D лежит на окружности, описанной вокруг треугольника ABC, то согласно свойству углов, образованных хордой и касательной, угол CAD равен углу CBD:
угол CAD = угол CBD.
4. Теперь рассмотрим треугольники ACD и BCD. Углы ACD и BCD равны, так как они оба составляют (180° - α) / 2. Углы CAD и CBD также равны.
5. Таким образом, у нас есть два треугольника ACD и BCD, имеющие по два равных угла:
угол ACD = угол BCD,
угол CAD = угол CBD.
6. Следовательно, по признаку равенства треугольников по двум углам, треугольники ACD и BCD равны. Из этого следует, что стороны AD и BD также равны:
AD = BD.
Ответ:
AD = BD.