Дано:
Равнобокая трапеция ABCD, где AB || CD и AD = BC (боковые стороны равны).
Найти:
Докажите, что вокруг равнобокой трапеции можно описать окружность.
Решение:
1. В равнобокой трапеции AB и CD – это параллельные стороны, а боковые стороны AD и BC равны (AD = BC).
2. Для доказательства того, что вокруг трапеции можно описать окружность, необходимо показать, что сумма углов при основаниях равна 180°. Это свойство выполняется для каждой вписанной фигуры.
3. Рассмотрим углы при основании:
- Угол DAB и угол BCD – это углы между боковой стороной и основанием.
- Угол ABC и угол ADC.
4. Обозначим углы:
Угол DAB = α,
Угол ABC = β.
5. Так как AD = BC и трапеция равнобокая, то углы α и β равны между собой:
α = β.
6. Углы DAB и ABC являются наклонными углами, поэтому их сумма:
α + β = 180°.
7. Теперь рассмотрим углы при другом основании:
Угол CDA и угол BCA также равны между собой, так как D и C тоже являются наклонными углами, соответственно:
Угол CDA = γ,
Угол BCA = δ.
8. Аналогично получаем, что:
γ + δ = 180°.
9. Поскольку сумма углов при каждом основании составляет 180°, это свойство указывает на то, что существует окружность, проходящая через все четыре вершины трапеции.
10. Таким образом, равнобокая трапеция ABCD является вписанным четырехугольником, следовательно, вокруг данной трапеции можно описать окружность.
Ответ:
Вокруг равнобокой трапеции можно описать окружность, так как сумма углов при основаниях равна 180°.