Дано: выпуклый четырёхугольник ABCD. Середины диагоналей AC и BD обозначены как E и F. Линии EF и AB пересекаются в точке G. Закрашенная фигура – треугольник BGF.
Найти: какую часть площади четырёхугольника ABCD составляет закрашенная фигура.
Решение:
1. Сначала докажем, что треугольники BGF и ACD подобны. Так как E и F – середины диагоналей, отрезки EF и AC параллельны, а также отрезки GF и BD параллельны.
2. Так как отрезки EF и AC параллельны и EF = 1/2 * AC (по свойству середины диагоналей), а GF и BD также параллельны и GF = 1/2 * BD, треугольники BGF и ACD подобны с коэффициентом подобия 1:2.
3. Площадь треугольника BGF равна 1/4 площади треугольника ACD, так как площадь подобного треугольника пропорциональна квадрату коэффициента подобия. Площадь треугольника ACD в свою очередь составляет 1/2 площади четырёхугольника ABCD (т.к. диагонали делят четырёхугольник на два треугольника одинаковой площади).
4. Следовательно, площадь треугольника BGF составляет 1/4 * 1/2 = 1/8 от площади четырёхугольника ABCD.
Ответ: Закрашенная фигура составляет 1/8 площади четырёхугольника ABCD.