Дано: Выпуклый четырёхугольник ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O. Пусть P и Q - середины диагоналей AC и BD соответственно. Пусть R - точка пересечения продолжений сторон AB и CD.
Найти: Площадь треугольника PQR и её отношение к площади четырёхугольника ABCD.
Решение:
1. Обозначим площадь четырёхугольника ABCD как S.
2. Обозначим площадь треугольника PQR как S_PQR.
3. Рассмотрим треугольники AOB и COD, которые формируются диагоналями. Точки P и Q являются серединами диагоналей, поэтому треугольники AOP и COQ равны, как и треугольники BOQ и DOQ.
4. Применим теорему о медианах: в любом четырёхугольнике, соединение середины диагоналей и точки пересечения продолжений противоположных сторон формирует треугольник, площадь которого равна 1/4 площади четырёхугольника.
5. Таким образом, площадь треугольника PQR равна 1/4 площади четырёхугольника ABCD.
Ответ: Площадь треугольника PQR равна 1/4 площади четырёхугольника ABCD.