Дано:
- Треугольник ABC.
- Точка D на стороне BC, такая что BD = 9 и DC = 7.
- Угол ∠BDA = ∠CAB.
Найти:
- Длину стороны AB.
Решение:
1. Обозначим длину стороны AB как x.
2. По условию угол ∠BDA равен углу ∠CAB. Это означает, что треугольники ABD и ACD подобны по углам (по признаку равенства углов).
3. Таким образом, можно записать пропорцию между соответствующими сторонами этих треугольников:
AB / AC = BD / CD.
4. Подставим известные значения в пропорцию:
x / AC = 9 / 7.
5. Теперь выразим AC через x:
AC = (7/9) * x.
6. Поскольку длина стороны BC равна BD + DC, получаем:
BC = BD + DC = 9 + 7 = 16.
7. В треугольнике ABC по теореме о сумме углов мы также можем записать:
AB + AC = BC,
где AB = x, а AC = (7/9) * x.
8. Подставим в уравнение:
x + (7/9)x = 16.
9. Приведем подобные слагаемые:
(9/9)x + (7/9)x = 16,
(16/9)x = 16.
10. Умножим обе стороны на 9/16:
x = 16 * (9/16),
x = 9.
Ответ:
Длина стороны AB равна 9.