Дано:
1. Сторона квадрата равна 1 м.
2. Квадрат расположен в координатной системе, его вершины: A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1), D(0, 1).
Найти:
Сумму квадратов расстояний от вершин квадрата до произвольной прямой.
Решение:
1. Пусть уравнение произвольной прямой имеет вид Ax + By + C = 0. Расстояние от точки (x_0, y_0) до этой прямой вычисляется по формуле:
d = |Ax_0 + By_0 + C| / √(A² + B²).
2. Теперь найдем расстояния от каждой из вершин квадрата до прямой и затем возведем их в квадрат.
3. Для вершины A(0, 0):
d_A = |A*0 + B*0 + C| / √(A² + B²) = |C| / √(A² + B²).
d_A² = C² / (A² + B²).
4. Для вершины B(1, 0):
d_B = |A*1 + B*0 + C| / √(A² + B²) = |A + C| / √(A² + B²).
d_B² = (A + C)² / (A² + B²).
5. Для вершины C(1, 1):
d_C = |A*1 + B*1 + C| / √(A² + B²) = |A + B + C| / √(A² + B²).
d_C² = (A + B + C)² / (A² + B²).
6. Для вершины D(0, 1):
d_D = |A*0 + B*1 + C| / √(A² + B²) = |B + C| / √(A² + B²).
d_D² = (B + C)² / (A² + B²).
7. Теперь суммируем квадраты расстояний:
S = d_A² + d_B² + d_C² + d_D²
S = C² / (A² + B²) + (A + C)² / (A² + B²) + (A + B + C)² / (A² + B²) + (B + C)² / (A² + B²)
S = [C² + (A + C)² + (A + B + C)² + (B + C)²] / (A² + B²).
8. Разложим суммы в числителе:
C² + (A² + 2AC + C²) + (A² + B² + 2AC + 2BC + C²) + (B² + 2BC + C²).
9. Объединим все члены:
= 2A² + 2B² + 4AC + 4BC + 4C².
10. Таким образом:
S = (2A² + 2B² + 4AC + 4BC + 4C²) / (A² + B²).
Ответ:
Сумма квадратов расстояний от вершин квадрата до произвольной прямой равна (2A² + 2B² + 4AC + 4BC + 4C²) / (A² + B²).