Дано:
1. Угол треугольника равен 30°.
2. Радиус вписанной окружности r = 1.
Найти:
Площадь треугольника, образованного точками касания этой окружности с катетами и гипотенузой.
Решение:
1. В прямоугольном треугольнике с углом 30° соотношения между сторонами следующие:
- Противолежащий катет (a) равен половине гипотенузы (c), то есть a = c / 2.
- Прилежащий катет (b) можно выразить как b = c * sin(60°).
2. Площадь треугольника S можно найти по формуле:
S = (1/2) * a * b.
3. Из геометрии известно, что радиус вписанной окружности r может быть выражен через площадь и полупериметр:
r = S / p,
где p - полупериметр треугольника.
4. Полупериметр p есть сумма всех сторон треугольника, делённая на 2:
p = (a + b + c) / 2.
5. Площадь треугольника также можно выразить как:
S = r * p.
6. Подставим известные значения в формулу:
1 = S / p
S = p.
7. Теперь найдем стороны треугольника. Угол 30° подразумевает, что если гипотенуза c = 2r = 2, тогда:
a = c / 2 = 2 / 2 = 1,
b = c * sin(60°) = 2 * (√3 / 2) = √3.
8. Полупериметр станет:
p = (a + b + c) / 2 = (1 + √3 + 2) / 2 = (3 + √3) / 2.
9. Подставим значение полупериметра в уравнение для площади:
S = p = (3 + √3) / 2.
10. Учитывая площадь треугольника, образованного точками касания окружности и катетами, её можно также выразить как:
S_t = r * (a + b - r) = 1 * (1 + √3 - 1) = √3.
Ответ:
Площадь треугольника, образованного точками касания окружности с катетами и гипотенузой, равна √3.