Дано:
1. Основание равнобедренного треугольника AB = 16.
2. Боковые стороны равнобедренного треугольника AC = BC = 17.
Найти:
Радиус r окружности, касающейся двух боковых сторон треугольника, и радиус R окружности, касающейся основания треугольника, продолжения боковой стороны и первой окружности.
Решение:
1. Сначала найдем высоту h треугольника из вершины C к основанию AB. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора. Откладываем половину основания на координатной оси:
M - середина отрезка AB. Тогда AM = MB = 8.
2. Высота h будет равна:
AC^2 = AM^2 + CM^2,
17^2 = 8^2 + h^2,
289 = 64 + h^2,
h^2 = 289 - 64 = 225,
h = √225 = 15.
3. Теперь вычислим площадь S треугольника по формуле:
S = (1/2) * основание * высота = (1/2) * 16 * 15 = 120.
4. Находим полупериметр p треугольника:
p = (AB + AC + BC) / 2 = (16 + 17 + 17) / 2 = 25.
5. Радиус r окружности, касающейся двух боковых сторон, можно найти по формуле радиуса вписанной окружности:
r = S / p = 120 / 25 = 4.8.
6. Теперь найдем радиус R окружности, касающейся основания, продолжения боковой стороны и первой окружности. Эта окружность называется описанной около треугольника, образованного высотой h и отрезком, соединяющим точки касания.
7. Длина отрезка между точками касания окружностей R и r равна h - r = 15 - 4.8 = 10.2.
8. Радиус R окружности, касающейся основания, можно выразить через радиус r и расстояние от центра окружности до основания:
R = r + (h - r) / 2 = 4.8 + 10.2 / 2 = 4.8 + 5.1 = 9.9.
Ответ:
Радиус окружности, касающейся двух боковых сторон треугольника, равен 4.8, а радиус окружности, касающейся основания, продолжения боковой стороны и первой окружности, равен 9.9.