Дано:
1. Прямоугольная трапеция ABCD, где AB || CD.
2. В трапецию вписана окружность, касающаяся сторон в точках P, Q, R, S.
3. Площадь четырехугольника PQRS равна одной четверти площади трапеции ABCD.
Найти:
Острый угол трапеции ABCD.
Решение:
1. Обозначим длины оснований трапеции как a = AB и b = CD, а высоту как h. Площадь S_trapezium трапеции ABCD можно выразить как:
S_trapezium = (a + b) * h / 2.
2. Поскольку в трапецию вписана окружность, то сумма длин боковых сторон равна сумме оснований:
AD + BC = a + b.
3. Площадь четырехугольника PQRS, образованного точками касания, равна:
S_quadrilateral = S_trapezium / 4 = ((a + b) * h / 2) / 4 = (a + b) * h / 8.
4. Из геометрии известно, что площадь четырёхугольника в случае прямоугольной трапеции может быть также выражена через радиус вписанной окружности r и полупериметр p:
S_quadrilateral = r * p_quadrilateral,
где p_quadrilateral — полупериметр четырёхугольника PQRS.
5. Полупериметр p_quadrilateral можно найти как:
p_quadrilateral = (PQ + QR + RS + SP) / 2.
6. Используя свойства трапеции, находим, что длины отрезков касания будут равны:
PQ = SP = r,
QR = RS = (h - r).
7. Подставляя значения, получаем:
p_quadrilateral = (r + (h - r) + (h - r) + r) / 2 = (2h) / 2 = h.
8. Теперь выразим радиус вписанной окружности r:
S_quadrilateral = r * h.
9. Из условия задачи знаем, что:
(a + b) * h / 8 = r * h.
10. Упрощая это уравнение, мы видим, что h сокращается:
(a + b) / 8 = r.
11. Для нахождения острого угла α трапеции используем соотношение между радиусом вписанной окружности и высотой:
r = h * tg(α).
12. Подставив значение радиуса r, имеем:
(a + b) / 8 = h * tg(α).
13. Таким образом, выражаем tg(α):
tg(α) = (a + b) / (8h).
14. Так как a и b являются основаниями, и в прямоугольной трапеции они могут быть равными или различными, но для нахождения угла достаточно знать его выражение.
15. При специальных условиях, например при равенстве оснований (прямоугольная трапеция превращается в прямоугольник), угол будет равен 45 градусам.
Ответ:
Острый угол трапеции равен 45 градусов при условии равенства оснований.